9-4-1　三角関数について

「さいん・こさいん・たんじぇんと」という名前くらいは覚えている人も多いかもしれない。日常生活に絶対出てこないような類のものなので、きれいに忘れている人も多いかと思うけど、なにもここで、もう一度三角関数の公式なんかをおさらいするつもりは全くないのでご安心を。三角関数の中で音響屋に必要なものは、とりあえず正弦（サイン）だけだ。

図9-4-1　SINθ

正弦（サイン）とはなにかというと、図のように直角三角形の線分BをAで割ったものだ。で、この値は角度θによって決まるわけだ。例えばθ=0゜は、角度が0度なので、Bも0になり、0/A=0ということで、sinθ=0となるわけだな。θ=30゜は、A:Bが2:1になる三角形なので、B/A=0.5というわけ。同じ理屈でθ=90゜は1になる。



図9-4-2 ターンテーブル

で、三角形の関数が何で音響に関係があるかというと、振動するものを数値に置き換えて表現する場合に必要なのだ。回転するものなら何でもいいんだけど、身近なところでレコードのターンテーブルがあったとしよう。でこのターンテーブルの外周の一カ所に図9-4-2のように赤い印をつけたとする。



→ 印の 縦位置
図9-4-3　印の位置変化

で、ターンテーブルを回したとして、赤い印の縦の位置にだけ注目すると、最初の時点を０とすると、回るにつれ上方向に離れていって、ターンテーブルが90゜回転したときに最大の距離（これはターンテーブルの半径に等しい）になって、さらにそれ以上回転すると今度は距離がだんだん近づいてきて180゜回転したときに再び距離は０になる。さらに進むと今度はさっきと逆の方向に離れていって、同じように240゜で、もっとも離れて360゜つまり1回転して元に戻るということを繰り返すわけだ。



図9-4-4 Sinθが縦位置を表す

ここでターンテーブルの半径を基準にしてこれを１という長さにしておこう。線からの距離というのは、印から線に対して直角になるように引いた線（垂線）のことだから、ターンテーブルの中心と印と線と垂線が交わる点を結ぶと、図9-4-4のような直角三角形ができるわけだ。（ああ、数学的な記述・・）この三角形のSinθとは垂線の長さを半径で割ったもので、半径は１にしたから、この場合はSinθ=垂線の長さになるわけで、図9-4-4ではθ=30゜で、Sinθ=0.5となるわけだな。とどのつまり、赤い印の縦位置は、Sinθで表せるということなんだ。



図9-4-5　正弦波

さらにターンテーブルは一定の角速度（時間当たりに同じ角度で）回転するので、角度の変化は時間の変化といってもいいわけ。でこのY=Sinθのグラフは、図9-4-5のようになる。この波形をした音を正弦波（サインウエーブ=Sine Wave）というわけだ。

この正弦波は音響屋にとって基本の音になる。これは「正弦波は全く倍音を含まない」「すべての音は正弦波を組み合わせたものである」という２つの理由に寄るのだ。厳密な意味の正弦波は自然界には存在しないけど、音叉の音なんかがこれに近い。オープンテープにいれる基準信号も正弦波だ。

ということで判ったような判らないような説明は終わり。

　　
9-4-2　位相について

位相もみんなを悩ませる言葉のうちの一つだ。実際プロのエンジニアの中にも正確に理解しているとはいいがたい人も多い。

図9-4-6　正弦波の角度

それではここで説明のためにもう一度正弦波に登場してもらおう。さっきいったように正弦波はY=Sinθのグラフと同じ波形になるんだったよね。それでθというのは角度のことだったから、図9-4-6のように、波形のくせに角度をつけることが出来るわけだ。



図9-4-7　位相

それでね、位相というのは相対的なもので、ある信号に対してもう一つの信号がどのようになっているかをいうものなのだな。例えば図9-4-7のように、全く同じ波形（正弦波）の信号A ,B, Cがあって、それが図9-4-7のようにずれていたとすると、「BはAに対して90゜位相がずれている。」「CはAに対して180゜位相がずれている。」という言い方をするのだ。さらにCはAと比べると山と谷の部分が全く逆になっているでしょ？このような関係（180゜位相がずれている関係）を位相の中でも特に「逆相」というのだ。また二つが全く一緒の波形だったり、360゜ずれている場合には「正相」というわけだ。

位相差というのも（基本的には同じ波形を持った）２つの信号を比べて位相がどのくらいずれているかという言葉で、位相差といった場合、大きく分けて空気中で音が伝わるときに起きる位相差と、音響機器内部で電気的に起きる位相差がある。

図9-4-8　距離による位相差

空気中を音が伝わるときに起きる位相差とは、図9-4-8のようにマイクを2本立ててある音源の音を収音したときに、音源とマイクの距離がそれぞれ異なるために起きるものだ。要は距離が違うということは、音源がマイクに到達するまでの時間が違うということで、AのマイクにはBのマイクに比べて少し遅れて音が到達するということだな。AがBに対してどのくらい遅れるかというのは三角関数で算出できるんだけど、ここでは割愛して、ためしにAはBに対して0.01秒、つまり10msec遅れて音が到達するとしよう。



図9-4-8　距離による位相差の例

そうするとフランジャーの原理の所でも少し触れたけど、100Hzの音に関しては図9-4-8のように10msec遅れると位相が360゜（=0゜）ずれるので、AはBに対して正相だということが出来る。同じように200Hz、300Hz・・・というような周波数ではAはBに対して正相になる。また50Hzの音や150Hz、250Hz・・・の音に関しては位相が180。ずれた状態、つまり逆相になる。ちなみに25Hz、125Hz、225Hz ・・・等の周波数に関しては90゜位相がずれるし、75Hz、175Hz、275Hz・・・等の周波数に関しては240゜位相がずれる。このように 距離によって出来る位相差は周波数によって位相のずれ具合が変わるのだ。



図9-4-9　逆相スイッチ

それに対して音響機器位相差をつける場合は、単純に電気的に位相差をわざわざ作り出すので、周波数によって位相差が変化することはなく全周波数で同じだけ位相がずれるようになっているわけだ。一番よくお目にかかるのはミキサーなんかについている逆相スイッチ。これは「φ」のような記号でかかれていることも多いけど、要は図のようにバランス入力されたホットとコールドを逆にしてホット側を本来コールドがつながる所にように、コールドを本来ホットがつながるところにつながるようにしているだけのことだ。その他チャンネルディバイダーの中には、分割した周波数帯それぞれに対して0゜から360゜まで連続的に位相差を設定できる機種もある。

　　　
9-4-3　倍音について

倍音（Over Tone / Harmonics）とは簡単にいってしまえば、「音色」を決める要素だ。例えばギターとバイオリンで、同じ音程の音を同じ時間だけ弾いても、みんなはギターの音とバイオリンの音を聴き分けることができる。これはギターとバイオリンの持つ音色が違うためという理由が一番大きな要因だ。それでは音色の違いというのはなにかというと、これが「倍音」というものの含み方の違いなんだな。倍音とは例えば"ド"の音を出したときに同時に出る"ミ"や"ソ"や"1オクターブ上のド"やそれ以外の様々な音のことだ。ちなみにこの倍音を全く含まない音が正弦波なのだったね。

図9-4-10　倍音

もう少し詳しく説明すると、楽器なんかの倍音のようすを見てみると大体図のようになっているのだ。

このようにたとえ"ド"の音を出していても実はいろんな音が出ている訳なんだな。何故このようにいろんな音が出ているのに"ド"の音だと感じられるかというと、いちばん"ド"の音が大きく出ているからなんだ。（図で定期的に音量の大きい部分）シンバルなど、倍音を多く含みかつ、この周期的に大きくでる倍音がない場合は、その音からは、音程感が感じられなくなるわけだな。



図9-4-10　倍音の発生

それでは1つの音程を弾いているはずなのに何故こんなにいろいろな音が出るのだろう。ここでギターのような弦楽器について例を取ってみよう。ある太さの弦がある張力で引っ張られていたとすると、それをはじくと図9-4-10の一番上のような振動をはじめるのは判るよね。これが「基音」と呼ばれるもので、基本的には一番低い音になる。（共鳴などで他のものと反応して、さらに低い音がでることもある）実際、弦のちょうど中心で弦をはじくとほとんどこのような振動のしかたしかしない訳なんだけど、考えてみると弦楽器って弦の中心で弦をはじくものってないでしょ？みんな真ん中からずれたところで弦をはじいてるよね。（逆の言い方をすると色々な振動を発生させるためにわざとそうしている面もある訳なんだけど）そうすると弦はいろんな振動の仕方をはじめるわけだ。

このいろんな振動というのが倍音の正体で、音程のある楽器に使われる振動は倍音の発生のが比較的規則正しいのだな。というのは色々な振動といっても全く不規則な振動をはじめるわけではなくて、図9-4-10の下の部分のように振動する山と谷の部分が2つになったり３つになったり４つになったりと、本来の振動の正数倍の振動が起こりやすくて、2¹/₃とかいう振動は起こりにくいのだ。で、正数倍の振動も山と谷の数が多くなってくると発生しにくくなってくるわけだな。

また中途半端な振動は折り返し地点の弦がとめられているところ近辺では比較的発生し易いんだけど、弦の中心にいけばいくほど他の振動成分と打ち消し合うことが多くなるので発生しにくいのだ。だからギターなんかブリッジ（ギターの弦がとめられているところ）近くで弾くと堅い（比較的倍音の多い）音がするし、弦の中心で弾くと柔らかい（比較的倍音が少ない）音がするわけだ。またエレクトリックギターなんかはブリッジに近づけてピックアップをつけると倍音を拾いやすいので堅めの音がするし、弦の中心に近づけると柔らかめの音がするわけで、リアーピックアップ（ブリッジに近いピックアップ）とフロントピックアップ（ブリッジから遠いピックアップ）が同じ種類のピックアップを使っても音質が違うのはこのためだ。

ちなみにギターでハーモニクス奏法（弦をはじいてから弦に軽く指をふれて「ぽーん」という丸い音を出す奏法）というのがあるけど、これは弦に指をふれることによって振動モード（振動のしかた）を強制的に変化させているわけだ。例えば開放弦を弾いて12フレット上で弦にふれると、ちょうど弦の中心をふれていることになるので、弦を2分割したような状態となって弦の中心が揺れるような振動が発生できなくなるわけだ。だから元の音程の振動は中心が押さえられているので発生することができないし、1/3の振動なども発生できなくなるわけで、結果として1オクターブ高い（開放弦の半分の長さの振れ）音が出て、倍音も少ないので正弦波に近い柔らかい音になるというわけだ。だから5フレットか24フレット上で弦にふれると弦の1/4の部分にふれているわけだから2オクターブ高い音が出るし、7フレットか19フレット上で弦にふれると弦の約1/3の部分にふれているわけだから1オクターブ上の5度上の音が出るわけだ。このようにハーモニクス奏法は弦の信号と密接な関係があるので、ハーモニクスが出やすいフレットというのは必ず弦の整数分の1の場所にある。